Análisis estructural

1. Comprendiendo y Calculando las Cargas Estructurales

Determine la fuerza resultante causada por la carga muerta y la carga viva.

Las cargas son fundamentales. El análisis estructural comienza identificando y cuantificando las cargas que una estructura debe soportar. Estas incluyen cargas muertas (peso propio de la estructura), cargas vivas (ocupación, mobiliario) y cargas ambientales (viento, nieve, sísmicas). Determinar con precisión estas cargas es esencial para un diseño seguro y económico.

Los tipos de carga varían. Diferentes materiales y usos generan distintas intensidades de carga. Por ejemplo:

• Carga muerta de concreto pesado: ~12 lb/ft²/in.
• Carga muerta de concreto ligero: ~8 lb/ft²/in.
• Carga viva en oficinas: 50 lb/ft²
• Carga viva para almacenamiento pesado: 250 lb/ft²

Las cargas ambientales son complejas. Las cargas de viento y nieve dependen de la ubicación, el terreno, la altura y la forma del edificio. El viento genera presión en la cara expuesta y succión en la opuesta, mientras que la nieve varía según la carga de nieve en el suelo, la forma del techo y la exposición. Estas cargas suelen estar reguladas por códigos de construcción.

2. Clasificación de Estructuras: Determinadas, Indeterminadas, Estables e Inestables

Estructura estáticamente determinada.

La clasificación estructural importa. Las estructuras se clasifican según su capacidad para ser analizadas solo con las ecuaciones de equilibrio estático. Las estructuras estáticamente determinadas se resuelven directamente, mientras que las indeterminadas requieren considerar propiedades del material y deformaciones. Las inestables no pueden mantener el equilibrio bajo carga.

Criterios de determinación. Para estructuras planas, la determinación se evalúa comparando el número de reacciones desconocidas (r) y liberaciones internas (si las hay) con el número de ecuaciones de equilibrio (3 por cuerpo rígido o nodo).

• Determinada: r = 3n (para cuerpos rígidos) o b + r = 2j (para armaduras)
• Indeterminada: r > 3n o b + r > 2j (grado de indeterminación = r - 3n o b + r - 2j)
• Inestable: r < 3n o b + r < 2j, o si las reacciones son paralelas o concurrentes.

La estabilidad es primordial. Una estructura inestable colapsará bajo carga. La inestabilidad puede surgir por soportes insuficientes o disposición incorrecta de miembros o apoyos, generando mecanismos o movimientos no controlados.

3. Análisis de Vigas y Marcos Estáticamente Determinados para Reacciones

By = 48.0 kN

El equilibrio es la clave. Para vigas y marcos estáticamente determinados, las reacciones en los apoyos se encuentran aplicando las tres ecuaciones de equilibrio estático: suma de fuerzas en x = 0, suma de fuerzas en y = 0 y suma de momentos respecto a cualquier punto = 0.

El tipo de apoyo determina las reacciones. Diferentes apoyos ofrecen distintas restricciones y, por ende, diferentes componentes de reacción:

• Articulación (pivote): Resiste fuerzas horizontales y verticales (2 reacciones).
• Rodillo: Resiste fuerza perpendicular a la superficie de rodadura (1 reacción).
• Empotramiento: Resiste fuerza horizontal, vertical y momento (3 reacciones).

Estructuras compuestas requieren segmentación. Las estructuras con articulaciones internas pueden dividirse en varios cuerpos rígidos. Se aplican las ecuaciones de equilibrio a cada segmento y/o a la estructura completa para resolver todas las reacciones desconocidas.

4. Análisis de Armaduras Estáticamente Determinadas

FCD = 780 lb (C)

Las armaduras son eficientes. Son estructuras ligeras compuestas por miembros delgados conectados en sus extremos mediante articulaciones. Se asume que los miembros solo soportan fuerzas axiales (tracción o compresión). El análisis determina la fuerza en cada miembro.

Métodos de análisis:

• Método de los Nudos: Aplicar las ecuaciones de equilibrio (∑Fx=0, ∑Fy=0) en cada articulación. Comenzar en nudos con pocos miembros desconocidos.
• Método de las Secciones: Cortar la armadura para aislar una sección. Aplicar las ecuaciones de equilibrio a esa sección para hallar las fuerzas en los miembros cortados. Útil para encontrar fuerzas específicas rápidamente.

Existen miembros sin carga. Algunos miembros no soportan carga bajo ciertas condiciones. Identificarlos simplifica el análisis y diseño. Aparecen en nudos con solo dos miembros no colineales o tres miembros donde dos son colineales y no hay carga externa en ese nudo.

5. Determinación de Fuerzas Internas: Diagramas de Cortante y Momento

MC = 0.667 kN·m

Las fuerzas internas resisten las cargas. Vigas y marcos desarrollan fuerzas internas (normal, cortante y momento flector) para resistir las cargas externas. Estas fuerzas varían a lo largo del miembro.

Los diagramas visualizan la variación. Los diagramas de cortante y momento muestran cómo varían la fuerza cortante (V) y el momento flector (M) a lo largo del eje del miembro. Son esenciales para el diseño estructural, pues indican los valores máximos y sus ubicaciones.

Las relaciones gobiernan los diagramas. Estos están relacionados mediante cálculo diferencial:

• La pendiente del diagrama de cortante en un punto es igual a la intensidad de carga distribuida en ese punto (dV/dx = w).
• El cambio en cortante entre dos puntos es igual al área bajo el diagrama de carga entre esos puntos.
• La pendiente del diagrama de momento en un punto es igual al cortante en ese punto (dM/dx = V).
• El cambio en momento entre dos puntos es igual al área bajo el diagrama de cortante entre esos puntos.

6. Análisis de Cables y Arcos

TCD = 6.41 kN (Máx.)

Los cables soportan tensión. Los cables flexibles soportan cargas desarrollando tensión a lo largo de su longitud. Bajo cargas verticales distribuidas, el cable adopta una forma parabólica. Bajo cargas concentradas, forma segmentos rectos.

Los arcos soportan compresión. Son estructuras curvas que soportan cargas principalmente por compresión axial. Los arcos de tres articulaciones son estáticamente determinados y se analizan aplicando las ecuaciones de equilibrio a los segmentos separados por las articulaciones.

La forma funicular es ideal. La forma funicular es la que adopta un cable bajo una carga dada. Si un arco se construye con esta forma para su carga muerta, idealmente soportará esa carga solo por compresión, minimizando esfuerzos de flexión.

7. Uso de Líneas de Influencia para Cargas Móviles

(MC) máx. = 141.6 kN·m

Las líneas de influencia muestran el efecto de la carga. Una línea de influencia es un gráfico que muestra cómo varía una fuerza interna específica (reacción, cortante o momento) en un punto de la estructura al mover una carga unitaria a lo largo de ella.

Su propósito para cargas móviles. Son fundamentales para determinar el efecto máximo (cortante, momento, reacción) causado por cargas móviles, como vehículos en un puente o grúas en una viga. Colocando las cargas reales en las posiciones correspondientes a los picos de la línea de influencia se obtiene el valor máximo.

El principio de Müller-Breslau simplifica. Este principio establece que la línea de influencia para una fuerza o momento en un punto es proporcional a la forma deformada de la estructura cuando se introduce un desplazamiento unitario correspondiente en ese punto. Esto facilita esbozar rápidamente la línea de influencia.

8. Cálculo de Deflexiones Estructurales

vc = - PL³ / 6EI

La deflexión es crucial para la funcionalidad. Mientras que la resistencia evita que la estructura se rompa, la rigidez evita deflexiones excesivas bajo carga, que pueden causar grietas, vibraciones o problemas estéticos. El análisis de deflexión predice la deformación estructural.

Existen varios métodos. Hay diversas técnicas para calcular deflexiones en vigas y marcos:

• Método de Integración: Integrar dos veces la ecuación del momento (EI d²v/dx² = M) para hallar la curva elástica.
• Teoremas del Área del Momento: Relacionan la pendiente y deflexión entre dos puntos con el área y momento del diagrama M/EI.
• Método de la Viga Conjugada: Analiza una viga ficticia cargada con el diagrama M/EI para encontrar deflexiones (como momentos) y pendientes (como cortantes) en la viga real.
• Trabajo Virtual/Teorema de Castigliano: Aplica una carga virtual unitaria o usa derivadas de energía de deformación para hallar desplazamientos.

EI es una propiedad clave. La rigidez a la flexión (EI), producto del módulo de elasticidad (E) y el momento de inercia (I) del miembro, influye directamente en la rigidez y deflexión. Mayor EI implica menor deflexión.

9. Análisis de Estructuras Estáticamente Indeterminadas: Método de Fuerzas

By = 7 w L / 128

La indeterminación requiere más. Las estructuras indeterminadas tienen más reacciones o fuerzas internas que las que pueden resolverse solo con equilibrio. El método de fuerzas (o método de flexibilidad) aborda esto tratando los apoyos o miembros redundantes como incógnitas.

Pasos del método de fuerzas:

1. Identificar el grado de indeterminación y elegir las fuerzas/momentos redundantes.
2. Eliminar los redundantes para crear una estructura primaria estáticamente determinada.
3. Calcular el desplazamiento/rotación en la ubicación de cada redundante en la estructura primaria debido a las cargas aplicadas.
4. Calcular el desplazamiento/rotación en la ubicación de cada redundante debido a cada fuerza/momento redundante unitaria.
5. Formular ecuaciones de compatibilidad que establecen que el desplazamiento/rotación total en los redundantes debe coincidir con las condiciones reales (usualmente desplazamiento/rotación cero en apoyos).
6. Resolver las ecuaciones de compatibilidad para las fuerzas/momentos redundantes.
7. Usar equilibrio para encontrar las reacciones y fuerzas internas restantes.

La compatibilidad es clave. El principio fundamental es asegurar que las deformaciones de la estructura sean compatibles con las condiciones de apoyo y conexiones.

10. Análisis de Estructuras Estáticamente Indeterminadas: Métodos de Desplazamiento

MBA + MBC = 0

Los métodos de desplazamiento se centran en rotaciones y desplazamientos en nudos. A diferencia del método de fuerzas, los métodos de desplazamiento (como el de Pendientes y Desplazamientos y el de Distribución de Momentos) consideran las rotaciones y desplazamientos en los nudos como incógnitas principales.

Método de Pendientes y Desplazamientos: Relaciona los momentos en los extremos de los miembros con las rotaciones en los nudos, desplazamientos relativos (asentamientos o desplazamientos laterales) y momentos fijos.

• Formular las ecuaciones de pendientes y desplazamientos para cada momento en extremos.
• Escribir las ecuaciones de equilibrio en cada nudo (suma de momentos = 0) y para la estructura (equilibrio de cortantes para desplazamientos laterales).
• Resolver el sistema para las rotaciones y desplazamientos desconocidos.
• Sustituir estos valores en las ecuaciones para hallar los momentos en los extremos.

Método de Distribución de Momentos: Proceso iterativo que distribuye momentos desequilibrados en los nudos hasta alcanzar el equilibrio.

• Calcular momentos fijos para cada miembro asumiendo nudos fijos.
• Calcular factores de distribución (FD) en cada nudo según la rigidez de los miembros (K).
• Liberar nudos uno a uno, distribuyendo el momento desequilibrado (suma de momentos fijos) a los miembros conectados según los FD.
• Transferir la mitad del momento distribuido al extremo opuesto de cada miembro (factor de transferencia).
• Repetir hasta que los momentos converjan.

Los momentos fijos son puntos de partida. Ambos métodos dependen de momentos fijos pre-calculados para casos estándar. La rigidez (K) y los factores de transferencia dependen de propiedades del miembro (EI, L) y condiciones en los extremos (empotrado, articulado).

11. Análisis Aproximado de Estructuras Indeterminadas

FBH = 12.1 k (T)

Simplificar para estimaciones rápidas. Para estructuras indeterminadas complejas, los métodos aproximados ofrecen estimaciones rápidas de fuerzas y momentos, útiles en diseño preliminar o para verificar análisis detallados. Estos métodos introducen suposiciones que hacen la estructura estáticamente determinada.

Las suposiciones varían según el tipo de estructura:

• Armaduras: Se asume que las diagonales soportan tracción o compresión, o que el cortante en un panel se distribuye equitativamente entre las diagonales.
• Marcos de pórtico (cargas laterales): Se asume puntos de inflexión a mitad de altura de columnas y mitad de luz de vigas, o se distribuye el cortante lateral entre columnas según rigidez (método de pórtico) o área (método de voladizo).

Método de pórtico vs. método de voladizo:

• Método de pórtico: Asume que las columnas interiores soportan el doble del cortante que las exteriores. Adecuado para marcos bajos.
• Método de voladizo: Asume que el esfuerzo axial en columnas es proporcional a su distancia al centroide del marco. Adecuado para marcos altos.

Los resultados son aproximados. Estos métodos brindan estimaciones razonables pero no exactas, basadas en comportamientos asumidos más que en análisis rigurosos.

12. Método de Rigidez Matricial para Análisis de Armaduras

K = k1 + k2 + k3

Los métodos matriciales automatizan el análisis. El método de rigidez es un enfoque sistemático y potente, ideal para implementación computacional. Ensambla una matriz global de rigidez (K) que relaciona fuerzas nodales (Q) con desplazamientos nodales (D) mediante la ecuación Q = KD.

Pasos para el análisis de armaduras:

1. Definir el sistema de coordenadas global y numerar nodos y grados de libertad (GL) en cada nodo.
2. Para cada miembro, determinar su matriz de rigidez local (k') que relaciona fuerzas locales con desplazamientos locales.
3. Transformar cada matriz local (k') a la matriz global (k) usando matrices de transformación basadas en la orientación del miembro (lx, ly).
4. Ensamblar la matriz global de rigidez (K) sumando las contribuciones de cada matriz global (k) según los códigos de GL compartidos.
5. Particionar la ecuación global (Q = KD) según desplazamientos conocidos (apoyos) y desconocidos (libres).
6. Resolver los desplazamientos desconocidos usando las fuerzas conocidas (cargas aplicadas).
7. Calcular las fuerzas en los miembros usando la rigidez del miembro y los desplazamientos nodales.

El ensamblaje es fundamental. La potencia del método radica en ensamblar sistemáticamente la matriz global de rigidez a partir de las contribuciones individuales, permitiendo analizar estructuras grandes y complejas.